Beispiel Zinseszins

Die Zinseszinsrechnung kann als ein weiteres einfaches Beispiel dienen. Jemand -der Kapitalgeber- hat ein bestimmtes Kapital K, das er am Markt jemandem -der Investor- bereitstellt, der damit einen Gewinn machen möchte. Dafür, dass man ihm das Kapital zur Verfügung stellt, ist er bereit, jedes Jahr eine Belohnung in Form von Zinsen Z zu zahlen. Man einigt sich auf folgenden Vergütungsmodus (mit n := maximale Zahl von Jahren für die Kapitalvergabe):

1. K(1) = K(0) + (K(0) * Z)
2. K(2) = K(1) + (K(1) * Z)
3. K(3) = K(2) + (K(1) * Z)
4. ......
5. K(n) = K(n-1) + (K(n-1) * Z)

In diesem Beispiel sind die Parameter für die Modellierung gegeben durch die Größen $K$ und $Z$ und die Beziehung ist gegeben durch die Formel

$$K(i) = K(i-1) + (K(i-1) * Z)$$

.

In einem Tabellenprogramm (z.B. MS Excel oder der freien Variante Open Office Calc) könnte solch eine Rechnung wie folgt aussehen (siehe Bild 5.8): Man trägt in Startzellen das Ausgangskapital ein, den Zins und rechnet den Kapitalgewinn für das Ende des 1.Jahres aus. Dann kopiert man diese Zeilen für alle kommenden Jahre mit einem Bezug auf das jeweils vorausgehende Jahr.

Figure 5.8: Modellierung und Simulation Zinseszins mit Excel

Eine solche Reihe könnte man auch durch eine einzige Formel beschreiben, etwa so:

$$K(i) = K(0) \times (1 + Z)^{i}$$

Mit den konkreten Werten aus dem Beispiel würde man dann erhalten

$$K(7) = 100 \times (1 + 0.035)^{7}$$

$$K(7) = 100 \times 1.272379$$

Die Exceldarstellungsweise hat den Nachteil, dass sie den Charakter der Simulation nur bedingt zur Geltung bringt. Eine andere Variante bietet die freie Software des $OKSIMO$-Projektes. Mit dem Modelleditor des $OKSIMO$-Projektes würde eine Modellierung wie folgt aussehen.

Figure 5.9: Modellierung und Simulation Zinseszins mit OKSIMO

Wie man aus Bild 5.9 ersehen kann, gibt es zwei Ausgangsgrössen in der Gegenwart: KAPITAL und ZINS. Diese bilden den Eingang zu einem 'Kasten', der mit growth_geometrical überschrieben ist. Das ist der Name einer Funktion (:= die oben identifizierte Beziehung). Der Ausgang dieses Kastens heisst wieder KAPITAL, hat aber eine andere Farbe. Die Farbe 'grün' signalisiert einen Eingang, die Farbe 'orange' einen Ausgang. Die ganze Anordnung von Eingängen, Funktion und Ausgängen stellt ein Modell dar. Bei dem Modell sind die Eingänge dem Anfang des Zeitpunktes $t$ zugeordnet und die Ausgänge dem Ende des Zeitpunktes $t$. Die Werte zum Ende des Zeitpunktes $t$ stehen im Simulationsprogramm zu Beginn des Nachfolgezeitpunktes $t+1$ als neue Eingabewerte zur Verfügung. Man könnte auch sagen, dass ein Ereignisfluss von 'links' nach 'rechts' stattfindet. Die Funktion growth_geometrical entscheidet darüber, wie die Ereignisse der Eingänge in die Ereignisse der Ausgänge weitergereicht werden. Will man wissen, was die Funktion growth_geometrical tut, dann braucht man diesen Kasten nur anklicken und es öffnet sich ein neues Fenster, das den 'Inhalt' der Funktion growth_geometrical zeigt (vgl. Bild 5.10).

Figure 5.10: Modellierung mit Geometrischem Wachstum

Man erkennt, dass die Grösse KAPITAL dort auf die Grösse AMOUNT abgebildet wird und die Grösse ZINS auf die Grösse INCREMENT. Die Grösse AMOUNT wird einmal mit der Grösse ZINS multipliziert und dann wird das Ergebnis dieser Multiplikation zur ursprünglichen Grösse AMOUNT dazuaddiert. Dadurch wird die Grösse AMOUNT verändert. Diese veränderte Grösse erscheint am Ausgang als Ausgabe für den Nachfolgezeitpunkt $t+1$. Um dieses Modell über beliebig viele Zeitpunkte laufen zu lassen -man rechnet das Modell 'hoch' bzw. man 'simuliert' einen bestimmten Verlauf- muss man über die Kopfleiste den Menüpunkt 'Simulation' aktivieren und den Punkt 'Run Simulation on local System' auswählen. Es erscheitn dann ein Eingabefenster, wie in Bild 5.11 zu sehen.

Figure 5.11: Zinseszins OKSIMO Eingabewerte für Simulation

Man wird aufgefordert, einen Wert für die Grössen KAPITAL und ZINS einzugeben und wieviele Zyklen (= Zeitpunkte) gerechnet werden soll. In einem zweiten Eingabefenster 5.12 kann man dann auch noch weitere Angaben machen, wie z.B. welche Ausgabewerte in einer Grafik ausgegeben werden sollen -hier gibt es nur einen Wert, nämlich KAPITAL- oder z.B. in welcher grafischen Form diese Ausgabe erfolgen soll. Im konkreten Fall wurde die Form Balkendiagramm gewählt. Es erscheint dann eine Ausgabegrafik der Art, wie man sie im Bild 5.13 erkennen kann:

Figure 5.12: Zinseszins OKSIMO Eingabewerte 2 für Simulation

Figure 5.13: Zinseszins OKSIMO Graph

Fassen wir nochmals zusammen: in einer Modellbildung muss man die Parameter identifizieren sowie die Menge der möglichen Beziehungen zwischen den Parametern. Nach Berechnung der Beziehungen zum Zeitpunkt $t$ erhält man AUSGABE-Daten, die dann zum Zeitpunkt $t+1$ als neue EINGANGS-Daten zur Verfügung stehen. Im Beispiel des OKSIMO-Modellierers sind die Eingangswerte zum Zeitpunkt $t$ jeweils gegeben durch die 'grün' eingefärbten Kästchen auf der 'linken' Seite des Diagramms und die 'orange' eingefärbten Kästchen bilden die Ausgabe-Daten am Ende von Zeitpunt $t$. Die möglichen Beziehungen werden repräsentiert durch alle Blöcke zwischen Eingangs- und Ausgabewerten.